皮亚诺公理 ​

首先我们给出五条公理来定义自然数：

1. $0$ 是自然数，
2. 对于任意自然数 $a$ 都有一个唯一对应的后继 $a^{\prime }$，
3. $0$ 不是任意自然数的后继，
4. 相同自然数的后继相同，不同自然数的后继不同，
5. 如果一个命题 $P$ 对自然数 $0$ 成立，并且当 $P(n)$ 成立时，$P(n^{\prime })$ 也成立，那么 $P$ 对任意自然数都成立。（称为归纳公理）

在以下的章节里，我们认为 $1$ 与 $0^{\prime }$ 是等价的，$2$ 与 $0^{″}$ 是等价的，以此类推。

加法的定义与应用 ​

对于加法，我们给出以下两条公理：

1. 对于任意自然数 $m$，有 $0+m=m$
2. 对于任意自然数 $m$、$n$，有 $m^{\prime }+n=(m+n{)}^{\prime }$

于是我们便可以证明以下定理：

$m+0=m$ ​

当 $m=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(m)$ 成立时，有

即 $P(m^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

$1+1=2$ ​

即证。

$m^{\prime }=1+m$ ​

即证。

$m^{\prime }=m+1$ ​

当 $m=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(m)$ 成立时，有

即 $P(m^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

加法结合律 ​

即对于任意自然数 $a$，命题 $P$：$(a+b)+c=a+(b+c)$ 对于任意自然数 $b$，$c$ 均成立。

证明过程如下：

当 $a=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(a)$ 成立时，有

即 $P(a^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

加法交换律 ​

即对于任意自然数 $a$，命题 $P$：$a+b=b+a$ 对于任意自然数 $b$ 均成立。

证明过程如下：

当 $a=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(a)$ 成立时，有

即 $P(a^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

乘法的定义与应用 ​

对于乘法，我们同样可以给出以下两条公理：

1. 对于任意自然数 $m$，有 $m\cdot 0=0$
2. 对于任意自然数 $m$、$n$，有 $m\cdot n^{\prime }=m\cdot n+m$

于是我们便可以证明以下定理：

$0\cdot m=0$ ​

当 $m=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(m)$ 成立时，有

即 $P(b^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

$m^{\prime }\cdot n=m\cdot n+n$ ​

当 $n=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(n)$ 成立时，有

即 $P(n^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

乘法分配律 ​

即对于任意自然数 $m$，命题 $P$：$k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n$ 对于任意自然数 $n$，$k$ 均成立。

证明过程如下：

当 $m=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(m)$ 成立时，有

即 $P(m^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

乘法结合律 ​

即对于任意自然数 $c$，命题 $P$：$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 对于任意自然数 $a$，$b$ 均成立。

证明过程如下：

当 $c=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(c)$ 成立时，有

即 $P(c^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。

乘法交换律 ​

即对于任意自然数 $b$，命题 $P$：$a\cdot b=b\cdot a$ 对于任意自然数 $a$ 均成立。

证明过程如下：

当 $b=0$ 时，有

即 $P(0)$ 成立。

当 $P(b)$ 成立时，有

即 $P(b^{\prime })$ 成立。

由归纳公理得 $P$ 对任意自然数都成立。